Bonjour ! J'aurais besoin d'aide pour un exercice de maths de niveau terminale générale. Je me lance : On a u₀= 2 // uₙ₊₁=[tex]-(1/2)u_n^2+3u_n-3/2[/tex] // et
Mathématiques
ethanzoxvmqc
Question
Bonjour ! J'aurais besoin d'aide pour un exercice de maths de niveau terminale générale. Je me lance :
On a u₀= 2 // uₙ₊₁=[tex]-(1/2)u_n^2+3u_n-3/2[/tex] // et [tex]v_n=u_n-3[/tex]
Montrer que, que pour entier naturel n, v(n+1) = [tex]-1/2v_n^2[/tex]
Merci d'avance !!
On a u₀= 2 // uₙ₊₁=[tex]-(1/2)u_n^2+3u_n-3/2[/tex] // et [tex]v_n=u_n-3[/tex]
Montrer que, que pour entier naturel n, v(n+1) = [tex]-1/2v_n^2[/tex]
Merci d'avance !!
1 Réponse
-
1. Réponse maagikmatt
Réponse :
Un₊₁ = -0,5 Un² + 3 Un - 3/2
Si Vn = Un - 3 alors Vn₊₁ = Un₊₁ - 3
Soit Vn₊₁ = (-0,5 Un² + 3 Un - 3/2) - 3
Vn₊₁ = -0,5 Un² + 3 Un - 9/2
Vn₊₁ = -0,5 * (Un² - 6 Un + 9)
Si Vn = Un - 3
Alors Vn² = (Un - 3)² = Un² - 6 Un + 9
Donc Vn₊₁ = -0,5 * Vn²
Explications étape par étape
Autre méthode :
On pose f(x) = -1/2 x² + 3x - 3/2 = -1/2 * (x² -6x + 3)
Delta = 36 - 4*3 = 36 - 12 = 24
x₁ = (6 - √24) / 2 = 3 - 2√2
x₂ = (6 + √24) / 2 = 3 + 2√2
Soit Un₊₁ = -1/2 * (Un - (3 - 2√2)) * (Un - (3 + 2√2))
Or Vn = Un - 3 ou Un = Vn + 3
Ce qui fait que Un₊₁ = -1/2 * (Vn - 2√2) * (Vn + 2√2)
Un₊₁ = -1/2 * (Vn² - (2√2)²) = -1/2 * Vn² + 4
Si Un = Vn + 3
Alors Un+1 = Vn+1 + 3
Soit Vn+1 + 3 = -1/2 * Vn² + 4
Vn+1 = -1/2 * Vn² + 4 - 3
Vn+1 = -1/2 * Vn² + 1