Bonjour pouvez vous m'aider merci bcp

Réponse :

ex.2     étudier l'ensemble de définition et de dérivabilité puis calculer la dérivée des fonctions suivantes

a) f(x) = (√(x) + 6)(x² - 3 x + 1)

        √x  est définie pour  x > 0   et  x² - 3 x + 1  est définie sur R

  Donc l'ensemble de définition de f  est  Df = ]0 ; + ∞[

x² - 3 x + 1 est dérivable sur R  et  √(x) + 6 est dérivable sur ]0 ; + ∞[

donc f(x) qui est le produit de deux fonction polynômes  est dérivable sur ]0 ; + ∞[

f(x) = (√(x) + 6)(x² - 3 x + 1)  

f '(x) = (u v)' = u'v + v'u

u = √(x) + 6 ⇒ u' = 1/2√x

v = x² - 3 x + 1 ⇒ v' = 2 x - 3

f '(x) = 1/2√x)(x²-2 x + 1) + (2 x - 3)(√(x) + 6)

      = √x/2 x)(x²-2 x + 1) + (2 x - 3)(√(x) + 6)

      = x√x/2) - √x + (√x/2 x) + 2 x√x + 12 x - 3√x - 18

      = 5 x√x/2 + (√x/2 x) - 4√x + 12 x - 18

      = x((5/2)√x  + 12) + √x((1/2 x)  - 4) - 18

      = x((5/2)√x  + 12) + √x((1- 8x)/2 x) - 18

  b) g(x) = (5 x² - 4 x + 1)/(2 x - 4)

           Df = R \ {2}  ou  Df = ]- ∞ ; 2[U]2 ; + ∞[

5 x² - 4 x + 1  est dérivable sur R

 2 x - 4 est dérivable sur Df

donc le quotient de deux fonctions polynômes est dérivable sur Df

donc  g(x) est dérivable sur Df

 g(x) = (5 x² - 4 x + 1)/(2 x - 4)

 g '(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²

u = 5 x² - 4 x + 1 ⇒ u' = 10 x - 4

v = 2 x - 4 ⇒ v' = 2

 g '(x) = [(10 x - 4)(2 x - 4) - 2(5 x² - 4 x + 1)]/(2 x - 4)²

          = (20 x² - 48 x + 16 - 10 x² + 8 x - 2)/(2 x - 4)²

          = (10 x² - 40 x + 14)/(2 x - 4)²

Explications étape par étape