Bonsoir, je travaille sur un dm , mais je n'arrive vraiment pas à avancer dessus,j'ai manqué le cours sur cette leçon car j'étais tombe malade et je suis vraime

Réponse :

Bonjour ,un exercice intéressant

Explications étape par étape

partie A: f(x)=e^x² Df=R

1) limites

si x tend vers -oo, x² tend vers+oo donc f(x)tend vers+oo

si x tend vers +oo, x² tend vers+oo  donc f(x tend vers+oo

Dérivée  f'(x)=2x*e^x² ; f'(x)=0 si x=0

si x<0,   f'(x)<0 et f(x) décroissante

si x >0,  f'(x)>0  et f(x) est croissante  

f(0)=e^0=1

Ceci correspond au tableau.

2)Pour démontrer que e^x²>ou= x²+1 il faut  prouver  que la courbe de e^x² est au dessus de celle de x²+1 donc que l'écart e^x²-(x²+1) est >ou=0

D'où l'étude fde h(x)=e^x²-x²-1

cette fonction h(x) est définie surR

les limites en + ou-oo sont +oo

a)dérivée  h'(x)=2xe^x²- 2x

on factorise 2x

h'(x)=2x(e^x²-1)

b)signe de cette dérivée  le terme (e^x² -1 ) =0 pour x=0 sinon il est>0

le terme 2x=0 pour x=0

le signe de cette dérivée dépend uniquement du signe de 2x

Tableau de variation de H(x)

x   -oo                            0                        +oo

h'(x)...............-.....................0.........+.............

h(x) +oo........décroi.........0.........croi.........+oo

c) h(0)=e^0-0-1=1-1=0

Conclusion h(x) est >0 sauf pour x=0 où h(x)=0 par conséquent e^x²>ou=x²+1

la courbe représentant f(x) est à l'intérieur de la parabole x²+1; ces deux courbes sont tangentes au point d'abscisse x=0.

Partie B  g(x)=e^x²/x   son Df=R*

limites en 0

1)si x tend vers 0-, e^x² tend vers1 donc g(x) tend vers 1/0-=-oo

si x tend vers 0+, e^x² tend vers1  donc g(x) tend vers 1/0+=+oo

2)si x tend vers +oo, g(x)=[(e^x)/x]*e^x tu as vu en cours que la limite de (e^x)/x en +oo est +oo donc celle de g(x) est (+oo)*(+oo)=+oo

3a)x+1/x=(x²+1)/x

On a vu partie A que  e^x² > ou=(x²+1)

si x<0 et que  je divise les deux termes de cette inégalité par x je dois inverser le sens de l'inégalité

donc si x<0, (e^x²)/x <ou=x+1/x

par conséquent la limite en -oo de x+1/x  étant  -oo, celle de g(x) est -oo

4-a)

dérivée g'(x): c'est la dérivée d'un quotient (u/v)'=(u'v-v'u)/v²

g'(x)=(2x*e^x²*x-1*e^x²)/x²=e^x²*(2x²-1)/x²

le signe de cette dérivée dépend donc uniquement du signe de (2x²-1)

g'(x) =0 si 2x²=1 solution x1=1/V2   et x2=-1/V2

4-b)Tableau de signes de g'(x) et de variations de g(x)

x   -oo                  -1/V2                  0                   1/V2                  +oo

g'(x)...........+...............0.........-..............II........-..............0.............+...........

g(x)-oo.....C........g(-1/V2)....D...-oo...II+oo.....D.......g(1/V2).......C........+oo

g(-1/V2) =-V(2e)      g(1/V2)=V(2e)

C=croissante et D=décroissante.