Bonjour : Un concurrent sur le marché des calculatrices estime que, chaque année, ses efforts lui permettent d'augmenter ses ventes de 5 % par rapport à l'année
Question
1.Montrer que, pour tout entier n, Un+1=1,05 un -10.
2. Déterminer une suite constante vérifiant la même relation de récurrence que (Un). On note "a" cette constante.
Montrer que la suite Vn, définie, pour tout entier naturel n, par Vn = Un - a, est une suite géométrique dont précisera le 1er terme et la raison.
1 Réponse
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1. Réponse Bernie76
Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1)
Une valeur qui augmente de 5% est multipliée par (1+5/100) soit 1.05.
Donc d'une année sur l'autre le nb de calculatrices vendues est miltiplié par 1.05 , nb auquel il faut enlever 10 milliers de calculatrices vendues par la concurrence.
Donc :
U(n+1)=U(n)*1.05-10 ou :
U(n+1)=1.05U(n)-10
2)
Soit la suite (W(n)) qui est constante avec la même relation de récurrence . Donc :
W(n+1)=W(n)=a
Mais W(n+1)=1.05W(n)-10
donc :
a=1.05a-10
10=1.05a-a
10=0.05a
a=10/0.05=200
Donc on pose :
V(n)=U(n)-200 qui donne :
V(n+1)=U(n+1)-200 mais : U(n+1)=1.05U(n)-10
Donc :
V(n+1)=1.05Un-10-200
V(n+1)=1.05Un-210 ==>On met 1.05 en facteur :
V(n+1)=1.05[U(n)-200] ==>mais U(n)-200=V(n) donc :
V(n+1)=1.05V(n)
qui prouve que :
La suite (V(n)) est une suite géométrique de raison q=1.05 et de 1er terme V(0)=U(0)-200=600-200=400.
On peut continuer :
On sait alors que :
V(n)=V(0)*q^n soit :
V(n)=400*1.05^n
qui donne :
U(n)=400*1.05^n+200