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Question

on considere ABCD un rectangle de cote AB=10 cm et AD=8 cm. M est un point du segment (AB) et P un point du segment (AD) tel que AM=AP=x cm.
on a (MN)//(AD) et (PQ)//(AB).
1) quelle valeur prend x ?
2)Determiner l'aire f(x) de la partie hachuree en fonction de x et montrer que f(x) peut s'ecire sous la forme:f(x)=2x au carre+18x+80
3)quelle valeur faut-il donner a x pour que l'aire hachuree soit minimale?
on considere ABCD un rectangle de cote AB=10 cm et AD=8 cm. M est un point du segment (AB) et P un point du segment (AD) tel que AM=AP=x cm. on a (MN)//(AD) et

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1 Réponse

  • 1) x∈[0;8] : en effet AD = 8cm   AB=10 cm
     AD< AB 
    pour que AMOP soit un carré AP≤AD ⇒AP≤8 ⇒x≤8

    2)surface de AMOP = x²
    surface de ONCQ = NC×ON
    NC=10-x
    ON=8-x
    surface de ONCQ=(10-x)(8-x)

    surface de la partie achurée =f(x) avec
    f(x)= x² +(10-x)(8-x)
    f(x)=x²+80-10x-8x+x²
    f(x)=2x² - 18x+80

    ( il y a certainement une erreur d'énoncé ou de recopie car il faut démontrer que 
    f(x) =2x² + 18x+80 ce qui est faux)

    f est de la forme ax²+bx+c c'est un trinôme du second degré
    a=2 donc a>0

    f a un minimum atteint en x= -b/2a            ( question de cours)
    soit en x =--18/4=18/4=9/2

    il faut donner à x la valeur 9/2 pour que l'aire hachurée soit minimale

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