Soit k la fonction définie sur R par k(x) = 1 - x + ex. 1) a. Dresser, en le justifiant, le tableau de variations (limites comprises) de la fonction k sur R b.

Réponse :

Explications étape par étape

1a) k(x)=1-x+e^x    Df=R

limites

si x tend vers-oo, 1-x tend vers+oo, e^x tend vers0 donc k(x)tend vers+oo

si x tend vers+oo, 1-x tend vers -oo et e^x tend vers+oo k(x) tend vers-oo+oo  (FI) mais la fonction e^x croît beaucoup plus vite que la fonction affine 1-x d'après les croissance comparées k(x) tend vers+oo

Dérivée k'(x)=-1+e^x

k'(x)=0 si e^x=1   donc si x=0

Tableau de signes de k'(x) et de variations de k(x)

x    -oo                                0                                +oo

k'(x)...................-.....................0...............+.......................

k(x) +oo......décroi...............k(0).........croi...............+oo

k(0)=1+1=2

b)  On note que k(x) est toujours >0

2-a) h(x)=x+1+x/e^x    Df=R

dérivée h'(x)=1+(e^x-x*e^x)/(e^x)²

h'(x)=1+e^x(1-x)/(e^x)²=1+(1-x)/e^x

h'(x)=(e^x+1-x)*e^-x=(e^-x)*k(x)

Nota:Pour la suite tu pourras en déduire que h'(x) est toujours >0 donc que h(x) est croissante; car je pense que suite il y a.