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Question

Le mathématicien grec Euclide (IIIe siècle avant J.-C .) affirmait que dans un  parallélogramme tel que celui-ci,   « la diagonale [BD] est divisée en trois parties égales ».   On se propose d’établir cette propriété en considérant les droites parallèles (AF) et (CE).   
1.Démontrer que H est le milieu de [DG]. 2 Démontrer que G est le milieu de [BH]. 3 En déduire que DH = HG = GB.
Le mathématicien grec Euclide (IIIe siècle avant J.-C .) affirmait que dans un  parallélogramme tel que celui-ci, « la diagonale [BD] est divisée en trois parti

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1 Réponse

  • 1) (AF) et (CE) sont parallèles donc on peut appliquer le théorème de Thalès dans le triangle DGC :
    DH/DG=DF/DC
    F étant le milieu de DC (puisque DF=FC) on a DF/DC=1/2
    Donc DH/DG=1/2 et DH=2*DG ⇔ H est le milieu de [DG]

    2) De même, on applique le théorème de Thalès dans le triangle ABH :
    BG/BH=BE/BA
    E étant le milieu de AB (puisque BE=EA) on a BE/BA=1/2
    Donc BG/BH=1/2 et BG=2*BH ⇔ G est le milieu de [BH]

    3)
    H est le milieu de [DG] donc DH=HG
    G est le milieu de [BH] donc BG=HG
    On en déduit que DH=HG=GB

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