Bonjour, je n'arrive pas à faire la récurrence de la question 3b. Merci d'avance pour votre aide (niveau terminale spé maths)​

Bonjour,

3)b) Considérons la proposition : [tex] P_{n} : "1 \leqslant U_{n+1} \leqslant U_{n}" [/tex].

Initialisation :

[tex] n=0, U_{0}=a, U_{1}=\frac{1}{2}a^{2}-a+\frac{3}{2} [/tex].

On a bien [tex]1 \leqslant U_{1} \leqslant U_{0}[/tex] (fais les calculs j'ai la flemme).

Hérédité : Soit [tex] n\in\mathbb{N} [/tex].

Supposons [tex] P_{n} [/tex] vraie.

On a :

[tex] 1 \leqslant U_{n+1} \leqslant U_{n} \iff f(1) \leqslant f(U_{n+1}) \leqslant f(U_{n}) [/tex] car la fonction [tex] f [/tex] est croissante sur [tex] [1;+\infty[ [/tex] .

Donc : [tex] (f(1)=1) 1\leqslant U_{n+1} \leqslant U_{n+1} [/tex].

Ainsi [tex] P_{n+1} [/tex] est vraie : [tex] P_{n} [/tex] est héréditaire et initialisée, donc [tex] \forall n \in \mathbb{N}, P_{n} [/tex] est vraie.

Voilà, bonne journée.