On considère les suites (Un)≥0 et (Vn)≥0 définies par U0=7 et, pour tout entier naturel n, Un+1=0,5Un+3 et Vn=Un − 6.1 a)Montrer que la suite (Vn)≥0 est une sui

Alors on a :

1)a) [tex] \forall n \in \mathbb{N} [/tex] :

[tex] V_{n+1}=U_{n+1}-6=0,5U_{n}+3-6=0,5Un-3 [/tex].

Donc [tex]V_{n+1}=0,5(U_{n}-6)=0,5V_{n} [/tex].

Donc [tex] (V_{n})_{n\in\mathbb{N}} [/tex] est géométrique de raison [tex] 0,5[/tex] et de premier terme [tex] V_{0}=U_{0}-6=1 [/tex]

2)a) On a :

[tex] \forall n \in \mathbb{N}, V_{n}=1\times0,5^{n} [/tex].

Donc [tex] V_{n}=0,5^{n} [/tex].

b) On a :

[tex] V_{n}=U_{n}-6 \iff U_{n}=V_{n}+6 [/tex].

Donc [tex] U_{n}=(0,5)^{n}+6 [/tex].

Voilà, bonne journée.