Bonjour, quelqu’un pourrait il m’aider svp, je dois le rendre dans 2heures merci

Réponse:

soit P(n) : n(2n+1)(7n+1) = 6k

initialisation

n= 0

0(2×0+1)(7×0+1)=0

0 est multiple de 6

P(0) est vraie.

heredité

Supposons la propriété vraie pour un entier naturel n. Montrons que (n+1)(2n+3)(7n+8) est multiple de 6

develeppons :

n(14n²+9n+1) = 6k

14n³ + 9n² + n = 6k

au rang n+1 on a :

(n+1)(2(n+1)+1)(7(n+1)+1) =

(n+1)(2n+3)(7n+8) =

(n+1)(14n² + 37n + 24) =

14n³+ 37n² + 24n + 14n² + 37n + 24 =

14n³ + 51n² + 61n + 24 =

14n³ + 9n² + n + (42n²+60n+24) =

6k + 6(7n²+10n+4) =

6( k + 7n² + 10n + 4) =

6k' avec k' entier naturel.

P(n+1) est vraie

Conclusion :

la propriété est vraie au rang 0 et est hereditaire donc elle est vraie pour tout entier naturel n.